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庞特里亚金极小原理及生产贮利润最优建模

来源：哔哩哔哩    时间：2023-08-06 20:03:38

古典变分法虽然强大，但是也有它的局限性，它要求容许函数是可以任意取的，但实际上容许函数往往是有限定的，就好比一元函数求极值一样在给定的区间内求其最大或最小，往往在边界取得而非极值点处。对于此类问题，就需要利用庞特里亚金极小值（极大）原理解决，下面形式上的给出原理的推导，并利用它建立一个生产-贮存-销售模型。


(相关资料图)

考察如下泛函自由，自由

构造哈密尔顿函数

假设是使取极小值的最优控制，由约束条件可以得到最优控制条件下的状态方程 

对于微扰 泛函变动到

且有

现在选定满足方程

以及终端的横截条件

那么可以猜测成立，这就是极小原理，我们可以对对控制函数分段以及积分分段处理去证明它，这里就不再证明了，极大情况相同。

此不等式的意思就是说哈密尔顿函数关于控制在最优控制的情况下取得极小。

下面通过极小(极大)原理来建立（瞎扯）一个生产—贮存—销售的最优模型。

我们假设贮存函数为,生产速率函数为,销售速率函数为,那么它们之间满足

，其次假定初始情况下贮存量，那么如何选取生产速率函数，使得总利润最大呢？为了分析的方便我们来简化一下销售速率函数，一般情况下销售的大小和生产的大小成正相关，与贮存成负相关由此我们假定。

其次在时间段内产品的销售价格是不变的记为，同时贮存会产生贮存费用，记单位产品产生的贮存费用为，生产原材料的成本也是固定的为，并且实际生产过程中生产速率具有一定的约束，不可能无限增加即，

，那么此时间段内总利润函数可以表示为

因此问题归结为在约束条件下求泛函

的最大值

构造哈密尔顿函数：

横截条件：

由此得到

于是最大利润下的生产速率函数、贮存函数的选取应该满足

上述假设中可以发现，极值函数刚好取在某一个边界上，如果假设销售速率函数与贮存量有关，即此时最大利润可以表示为

以及约束条件

构造哈密尔顿函数

横截条件:

解得,同时假定

得到利润最大时候的生产速率函数和贮存函数

如果,那么利润最大时的生产速率函数和贮存函数则为

当然，以上都是比较简单的理想化的假设，以至于能够直接解出微分方程。

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